Формирование матрицы цельного образа при раздельном восприятии элементов комплексного объекта. Формирование матрицы цельного образа при раздельном восприятии элементов комплексного объекта Обратимые линейные операторы

Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

Оператор А называется невырожденным , если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

Пусть - матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

Задачи

1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

5. Доказать, что .

Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

6. . 7. . 8. .

3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в - мерном пространстве Х.

Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Если - матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения l и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы - собственными векторами матрицы .

Пример. Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

Отсюда собственное значение , его кратность .

2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

3.1.Оператор простой структуры.

Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид

где - собственные значения оператора. Очевидно, что верно и обратное: если в некотором базисе пространства Х матрица оператора имеет диагональный вид, то базис состоит из собственных векторов оператора.

Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов. Так как собственные векторы есть решения системы уравнений то, следовательно, каждому корню характеристического уравнения кратности , должна соответствовать матрица ранга .

Всякая матрица размера , соответствующая оператору простой структуры, подобна диагональной матрице

где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).

Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Откуда собственные значения кратности и кратности .

Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются

решением системы

Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор .

Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений

ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,

Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид

и связь между подобными матрицами и определяется соотношением

Задачи

Найти собственные векторы и собственные значения

линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в , имеет n различных значений, то любой линейный оператор В перестановочный с А, обладает базисом собственных векторов, причем любой собственный вектор А будет собственным и для В.

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение 1. . Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора его образ также принадлежит .

Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:

1. Если и являются инвариантными подпространствами относительно оператора А, то их сумма и пересечение также инвариантны относительно оператора А.

2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств и () и инвариантно относительно А, то матрица оператора в базисе, который является объединением базисов и есть блочная матрица

где - квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.

3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Пример 1. Рассмотрим ядро некоторого оператора А, действующего в Х. По определению . Пусть . Тогда , так как нулевой вектор содержится во всяком линейном подпространстве. Следовательно, ядро - инвариантное относительно А подпространство.

Пример 2. Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей определяются уравнением и

5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .

6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker , т. е.

Ker  = {x | (х ) = o }.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V .

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker  = d .

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im , т. е. Im  = {(х ) | х  V }.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V .

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im  = r .

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V .

Пример 9.3. 1) В пространстве R [x ] ( 3) найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker  = {f | f = c } и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im  = R [x ] ( 2) и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M (), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х ) = о , которое в матричной форме выглядит так: M ()[x ] = [о ]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M (). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e 1), (e 2), …, (e n ). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым , если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается  –1 .

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M (), при этом M ( –1) = (M ()) –1 .

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.4 1) Определить, обратим ли линейный оператор , если (x ) = (2х 1 – х 2 , –4х 1 + 2х 2).

Решение . Составим матрицу этого линейного оператора: M () = . Так как
= 0 то матрица M () необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

2) Найти линейный оператор, обратный оператору , если (x ) = (2х 1 + х 2 , 3х 1 + 2х 2).

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M () =
, обратима, так как |M ()| ≠ 0. (M ()) –1 =
, поэтому  –1 = (2х 1 – х 2 , –3х 1 + 2х 2).

Выяснение принципов интеграции дискретной информации при раздельном восприятии элементов сложного объекта является актуальной междисциплинарной проблемой. В статье рассматривается процесс построения образа объекта, представляющего собой комплекс блоков, каждый из которых объединяет набор мелких элементов. В качестве исследуемого объекта была выбрана конфликтная ситуация, поскольку она стабильно находилась в поле внимания при неизменной стратегии анализа информации. Обстоятельства ситуации являлись составными частями объекта и раздельно воспринимались в качестве прообразов конфликта. Задача данной работы заключалась в математическом выражении матрицы, отражавшей образ проблемной поведенческой ситуации. Решение задачи основывалось на данных визуального анализа конструкции графической композиции, элементы которой соответствовали ситуационным обстоятельствам. Размер и графические особенности выбираемых элементов, а также их распределение в композиции служили ориентиром для выделения рядов и столбцов в матрице образа. Исследование показало, что конструкция матрицы определяется, во-первых, поведенческой мотивацией, во-вторых, причинно-следственными отношениями ситуационных элементов и последовательностью получения информации, а также, в-третьих – выделением фрагментов информации в соответствии с их весовыми параметрами. Можно полагать, что отмеченные матричный векторный принципы формирования образа поведенческой ситуации характерны для построения образов и других объектов, на которые направлено внимание.

визуализация

восприятие

дискретность информации

1. Анохин П.К. Очерки по физиологии функциональных систем. – М.: Медицина, 1985. – 444 с.

2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: учеб.для вузов. – 6-е изд. – М.: Физматлит, 2004. -280 с.

3. Лавров В.В. Мозг и психика. – СПб.: РГПУ, 1996. – 156 с.

4. Лавров В.В., Лаврова Н.М Влияние агрессии на цельность, целостность, ценность и субъективность образа конфликтной ситуации // Когнитивная психология: междисциплинарные исследования и интегративные практики. – СПб.: ВВМ, 2015. – С. 342-347.

5. Лавров В.В., Рудинский А.В. Триада стратегий обработки информации при опознании неполных зрительных образов // Фундаментальные исследования. – 2014 – № 6 (2). – С. 375-380.

6. Лаврова Н.М., Лавров В.В., Лавров Н.В. Медиация: принятие ответственных решений. – М: ОППЛ, 2013. – 224 с.

7. Шелепин Ю.Е., Чихман В.Н., Фореман Н. Анализ исследований восприятия фрагментированных изображений – целостное восприятие и восприятие по информативным признакам // Российский физиологический журнал. 2008. – Т. 94. № 7. – С. 758-776.

Результаты исследований восприятия неполных изображений расширили перспективу изучения принципов, определяющих интеграцию дискретной информации и монтаж цельных образов. Анализ особенностей опознания фрагментированных изображений при предъявлении изменяющегося количества фрагментов позволил проследить три стратегии построения цельного образа в условиях дефицита информации. Стратегии отличались по оценке значимости наличных порций информации для формирования цельного образа. Иначе говоря, каждая стратегия характеризовалась манипуляцией весовыми параметрами наличных порций информации . Первая стратегия предусматривала равнозначность фрагментов образа - его опознание совершалось после накопления информации до уровня, достаточного для полноценного представления относительно предъявляемого объекта. Вторая стратегия основывалась на дифференцированном подходе к оценке веса фрагментов наличной информации. Оценка давалась в соответствии с выдвигаемой гипотезой относительно сущности объекта. Третья стратегия определялась мотивацией максимального использования наличной информации, которая наделялась высоким весом и считалась признаком или прообразом реального объекта. Важным моментом в проделанной ранее работе явилось рассмотрение мозговых механизмов, которые обеспечивали смену стратегий в зависимости от доминирующей эмоции и поведенческой мотивации. Имеются в виду неспецифические системы мозга и гетерогенность нейронных модулей, работающих под контролем центрального управления . Проведенные исследования, как и те, что известны из литературных источников, оставляли открытым вопрос о принципах распределения информации в цельном образе. Для ответа на вопрос требовались наблюдения за формированием образа того объекта, на котором длительное время сосредоточено внимание и остается неизменной выбранная стратегия построения образа. В качестве такого объекта могла служить конфликтная ситуация, поскольку она стабильно находилась в поле внимания при неизменной второй стратегии анализа обстоятельств. Спорные стороны отвергали первую стратегию из-за увеличения длительности конфликта и не применяли третью стратегию, избегая ошибочных решений .

Цель данной работы заключалась в выяснении принципов построения матрицы образа на основе элементов информации, полученной при раздельном восприятии компонентов комплексного объекта, на который было направлено внимание. Решали следующие задачи: во-первых, выбирали объект, на котором стабильно длительное время было сосредоточено внимание, во-вторых, использовали метод визуализации образа, чтобы проследить фрагментацию информации, полученной при восприятии объекта, а затем, в-третьих, сформулировать принципы цельного распределения фрагментов в матрице.

Материалы и методы исследования

В качестве многокомпонентного объекта, который стабильно находился в поле внимания при неизменной стратегии анализа наличной информации, служила проблемная поведенческая ситуация. Проблема была вызвана конфликтом в отношениях членов семей, а также сотрудников производственных и образовательных учреждений. Эксперименты, в которых проводился анализ образа ситуации, предшествовали медиации, направленной на урегулирование противоречий между спорными сторонами. Перед началом медиативных переговоров представители спорных сторон получали предложение участвовать в качестве испытуемых в экспериментах с использованием методики, способствующей анализу ситуации. Методика визуализации предусматривала построение графической композиции, отражавшей конструкцию образа, который возникал при раздельном восприятии компонентов комплексного объекта. Методика служила инструментом исследования процессов формирования цельного образа из набора элементов, соответствующих деталям объекта. Группа испытуемых состояла из 19 женщин и 8 мужчин в возрасте от 28 до 65 лет. Для получения цельного визуального образа ситуации испытуемым предлагали совершить следующие действия: 1) восстановите в памяти обстоятельства конфликтной ситуации - события, отношения с людьми, мотивы собственного поведения и окружающих людей; 2) оцените обстоятельства по значимости для понимания сущности ситуации; 3) разделите обстоятельства на благоприятные и неблагоприятные для разрешения конфликта и постарайтесь проследить их взаимосвязь; 4) подберите подходящий, по Вашему мнению, графический элемент (круг, квадрат, треугольник, линию или точку) для каждого из обстоятельств, которые характеризуют ситуацию; 5) сформируйте композицию из графических элементов, учитывая значимость и взаимосвязь обстоятельств, передаваемых этими элементами, и нарисуйте полученную композицию на бумажном листе. Графические композиции подвергались анализу - оценивалась упорядоченность и соотношение размеров элементов образа. Случайные неупорядоченные композиции отвергались, а испытуемым предлагалось вновь рассмотреть взаимосвязь ситуационных обстоятельств. Результаты обобщенного анализа композиция служили ориентиром для формулирования математического выражения матрицы образа.

Результаты исследования и их обсуждение

Каждая графическая композиция, посредством которой испытуемый представлял конструкцию образа поведенческой ситуации, была оригинальной. Примеры композиций иллюстрируются на рисунке.

Графические композиции, отражающие образы проблемных поведенческих ситуаций, в которых находились испытуемые (каждый элемент композиции соответствует ситуационным обстоятельствам)

Неповторимость композиций свидетельствовала об ответственном подходе испытуемых к анализу ситуаций с учетом их отличительных особенностей. Количество элементов в композиции и размерность элементов, а также конструкция композиции отражали оценку комплекса обстоятельств.

После того, как была отмечена оригинальность композиций, исследование обратилось к выявлению принципиальных особенностей конструкции образа. Стремясь к построению цельной композиции, отражающей образ ситуации, испытуемые распределяли элементы в соответствии со своими индивидуальными предпочтениями, а также с учетом причинно-следственных отношений обстоятельств и сочетания обстоятельств по времени. Семь испытуемых предпочитали монтировать композицию в форме рисунка, построение которого определялось заранее составленным образным планом. На рис. 1 (а, б, г) даются примеры таких композиций. Двое испытуемых перед составлением композиции выбрали идею, положенную в основу плана, сознательно, а пятеро интуитивно, не давая логического объяснения, почему остановились на выбранном варианте. Остальные двадцать испытуемых создавали схематичную композицию, обращая внимание только на причинно-следственные связи обстоятельств и сочетание обстоятельств по времени (рис. 1, в, д, е). Связанные и совпадающие по времени обстоятельства совмещались в композиции. В экспериментах не проводилась интерпретация сущности конфликта с использованием данных графической композиции. Такая интерпретация осуществлялась впоследствии в рамках медиации, когда выяснялась готовность сторон к переговорам .

Анализ композиций позволил проследить не только различие, но и универсальность принципов формирования образа ситуации. Во-первых, композиции состояли из графических элементов, каждый из которых отражал обстоятельства, обладавшие общностью. Общность обстоятельств была обусловлена причинно-следственными и временными отношениями. Во-вторых, обстоятельства имели неодинаковую значимость для понимания сущности проблемной ситуации. То есть, обстоятельства отличались по весовым параметрам. Высоко значимые обстоятельства изображались графическими элементами в увеличенном размере, по сравнению с менее значимыми. Отмеченные особенности образа учитывали при составлении матрицы образа. Имеется в виду, что размер и графические особенности выбираемых элементов, а также их пространственное положение в графической композиции служили ориентиром для построения информационной матрицы, отражавшей образ ситуации и являвшейся его математической моделью. Прямоугольная матрица, представленная в виде таблицы, разделена на строки и столбцы . Применительно к формируемому образу проблемной ситуации в матрице выделяли строки, в которых находились взвешенные элементы прообразов, объединенные причинно-следственными и временными отношениями, и столбцы, содержащие элементные данные, отличающиеся по весовым параметрам.

(1)

Каждая отдельная строка отражала формирование части образа или, иначе говоря, прообраза объекта. Чем больше строк и чем больше m, тем более тотально воспринимался объект, поскольку полнее учитывались структурные и функциональные свойства, служившие его прообразами. Количество столбцов n определялось количеством деталей, отмечаемых при построении прообраза. Можно полагать, что чем больше было накоплено информационных фрагментов высокого и низкого веса, тем полнее прообраз соответствовал реальности. Матрица (1) характеризовалась динамичностью, поскольку её мерность изменялась в соответствии с полнотой образа воспринимаемого объекта.

Здесь уместно отметить, что полнота является не единственным показателем качества образа. Образы, представленные на полотнах художников, зачастую проигрывают фотографии по детализации и по соответствию реальности, но при этом могут превосходить по ассоциации с другими образами, по возбуждению воображения и по провокации эмоций. Сделанное замечание помогает понять значимость параметров amn, обозначающих вес информационных фрагментов. Увеличение веса нивелировало недостаток наличных данных. Как показало исследование стратегий преодоления неопределенности, признание высокой значимости наличных фрагментов информации ускоряло принятие решений в проблемной ситуации .

Итак, процесс формирования цельного образа поддается интерпретации, если соотнести его с манипуляцией информацией в рамках матрицы. Манипуляция выражается произвольным или непроизвольным (сознательным целенаправленным или интуитивным бессознательным) изменением весовых параметров информационных фрагментов, то есть, изменением величины amn. При этом увеличивается или уменьшается величина bm, которая характеризует значимость прообраза, и одновременно изменяется результирующий образ br. Если обратиться к матричной модели формирования образа, охватывающего совокупность данных относительно объекта, то организация образа описывается следующим образом. Обозначим вектор прообразов, содержащий m компонент, через

где Т - знак транспонирования, а каждый элемент вектора прообразов имеет вид:

Тогда выбор результирующего образа можно осуществить по правилу Лапласа :

где br - конечный результат формирования цельного образа, имеющий своими компонентами значения bm, amn - комплекс значений, определяющих положение и весовые параметры переменной в строке, соответствующей прообразу. В условиях ограниченной информации конечный результат может увеличиваться посредством повышения весовых значений наличных данных.

В завершение обсуждения представленного материала относительно принципов формирования образа обращается внимание на необходимость конкретизации термина «образ», поскольку в литературе отсутствует общепризнанное истолкование. Термин, прежде всего, обозначает формирование цельной системы информационных фрагментов, которые соответствуют деталям объекта, находящегося в поле внимания. Причем крупные детали объекта отражаются подсистемами информационных фрагментов, составляющих прообразы. В качестве объекта может выступать предмет, явление, процесс, а также поведенческая ситуация. Формирование образа обеспечивается ассоциациями получаемой информации и той, которая содержится в памяти и связана с воспринимаемым объектом. Консолидация информационных фрагментов и ассоциаций при создании образа реализуется в рамках матрицы, конструкция и вектор которой выбираются сознательно или интуитивно. Выбор зависит от предпочтений, задаваемых мотивациями поведения. Здесь особо обращается внимание на основополагающий момент - дискретность информации, используемой для монтажа цельной матрицы образа. Цельность, как это показано , обеспечивается неспецифическими системами мозга, контролирующими процессы анализа получаемой информации и ее интеграции в памяти. Цельность может возникнуть при минимальных значениях n и m, равных единице. Образ приобретает высокую ценность за счет увеличения весовых параметров наличной информации, а полнота образа возрастает по мере увеличения значений n и m (1).

Заключение

Визуализация элементов образа позволила проследить принципы его конструкции в условиях раздельного восприятия обстоятельств проблемной поведенческой ситуации. В результате проведенной работы, было показано, что построение цельного образа можно рассматривать в качестве распределения информационных фрагментов в структуре матрицы. Ее конструкция и вектор определяются, во-первых, поведенческой мотивацией, во-вторых, причинно-следственными отношениями обстоятельств и временной последовательностью получения информации, а также, в-третьих - выделением фрагментов информации в соответствии с их весовыми параметрами. Цельность матрицы образа обеспечивается интеграцией дискретной информации, отражающей воспринимаемый объект. Неспецифические системы мозга составляют механизм, ответственный за интеграцию информации в цельном образе. Выяснение матричных принципов формирования образа сложного объекта расширяет перспективу понимания природы не только цельности, но и других свойств образа. Имеется в виду целостность и сохранность образной системы, а также ценность и субъективность, обусловленная недостатком полной информации относительно объекта .

Библиографическая ссылка